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  斯特林发动机技术已有近两百年的历史，虽然这些发动机与内燃机相比有着非常明显的优势，但它们只是在最近才慢慢的出现商业化的装置。到目前为止，只有少数制造商慢慢的开始生产或正在生产基于斯特林循环的商业化发动机。过去遇到的许多困难，要么是独特的，要么是对斯特林发动机的运作至关重要，导致其发展缓慢。这些困难包括，在高温下向工作气体进行充分和统一的热传导，活塞的润滑，密封和密封，以及再生器的污染。对斯特林发动机的建立至关重要，其中一些困难在当时没有办法解决，而内燃机却取得了巨大的进步，成为未来的发动机。

  在过去的几十年里，随技术和材料的改进，这些困难在很大程度上得到了解决，今天，由于一些独特的优势，包括低噪音运行、长期运行能力和效率，斯特林发动机在某些利基应用中成为首选。这些优势使斯特林发动机成为使用各种热源将热能转换为电能的有力工具，包括燃油和可再生燃料、太阳能和废热。在这方面，对斯特林发动机的热力学和气体动力学行为的每周期模拟研究，有助于提高我们对这些过程的理解，并有助于优化发动机。

  斯特林循环分析有多种方法。这里的重点是循环热力学和气体动力学行为，其中一种方法（广义上称为节点或有限单元分析）努力获得各种热力学变量的数值解决方案，例如温度和压力，作为整个发动机位置和时间的函数。这种方法属于斯特林循环分析中通常称为二阶或三阶模拟的方法范围，这取决于模拟的复杂性。

  节点分析或有限单元分析需要将流动通道，即热交换器和再生器，细分为若干单元，然后以有限差分的方式为这些单元制定工程形式的守恒方程。膨胀和压缩空间的可变体积是由绝热模型描述的。动量和能量方程能够最终靠省略一些条款来简化。流动通道壁的能量平衡可能是也可能不是配方的一部分。这种分析很有吸引力，因为它产生了足够的细节，以形成气体压力、质量流量、气体和金属温度等与位置和时间有关的图像。

  虽然前面提到的公式接近以耦合的方式来进行发动机模拟，即所有的损失机制都包括在发动机的循环热力学模拟中，简化的解耦分析，也被称为二阶分析根据理想的绝热循环来模拟发动机，而寄生损失只在事后才被考虑。虽然这种方法不太准确，但它的优点是可以更好地识别由于各种损失造成的理想性能的降低，从而为改善发动机性能提供启示。因此，这种方法非常适合于发动机的初步设计。我们继续开发了一个以初步设计和优化为目标的二阶方法。这种方法随后被用来测试其准确性，对三个有据可查的斯特林发动机来测试，其中GPU3（地面动力装置），一个由通用汽车研究实验室开发的菱形驱动斯特林发动机发电机组，可能是向公众提供的最好的记录的斯特林发动机。

  该模拟被发现是相当准确的。然而，该发动机不是一个高性能的发动机，即它只由三个主要的体积组成，即一个完整的膨胀空间/热侧换热器和压缩空间/冷侧换热器，中间有一个流道，也是一个非常低效的再生器。在现代高性能发动机中，由于具有高效的再生器，膨胀空间/热侧换热器和压缩空间/冷侧换热器分别是独立的体积，以改善传热，产生了五种体积拓扑结构。问题是，开发的这种简化变量在多大程度上能够准确模拟高功率斯特林发动机。

  考虑图中的发动机配置，表明了仿真变量为理想的绝热方法。在图中，W、V、m、T、Q和p分别指的是功、体积、质量、温度、热量和压力。下标c、k、r、h和e分别指压缩空间、冷却器或冷侧热交换器、再生器、加热器或热侧热交换器和膨胀空间。双重下标ck、kr、rh和he指的是各个单元之间的四个界面。发动机被细分为五个单元，分别与压缩空间、冷却器、再生器、加热器和膨胀空间相对应。

  压缩和膨胀空间被认为是绝热的。能量在各单元之间的界面上转移，通过质量流量和上游温度转移到工作空间和从工作空间转移出的焓。冷却器和加热器分别作为理想的能量汇和源，也就是说，热交换器中工作气体的温度被认为等于加热器和冷却器的温度。再生被认为是理想的。

  图中显示了理想绝热方法的温度曲线。图中显示，流动通道的温度，即冷却器、再生器和加热器的温度是固定的，只有可变的体积温度由于假设过程是绝热的而发生明显的变化，是由能量方程得出的：（1）状态方程：pV+mRT（2）和微分形式的状态方程（3）其中cp和cv分别指气体在恒定温度和恒定体积下的比热能力i和o分别指流入和流出的气体，m表示质量流率。质量守恒定律被用来连接所产生的方程。

  假设是准稳态流动，这在某种程度上预示着四个质量流量变量在每个积分区间保持不变，没有加速效应。因此，该问题可简化为七个常微分方程组的同时求解。求解这组常数微分方程的最简单方法是将其表述为一个初始值问题，即所有变量的初始值是已知的，方程从这个初始状态开始在一个完整的周期内进行整合、即曲轴完成一个完整的旋转（360度），使活塞回到它们的初始位置。需要注意的是，理想中的发动机静态模型不是一个初始值问题，而是一个边界值问题，因为我们不知道各种初始值。然而，通过为要积分的七个变量指定任意的初始条件，并通过几个完整的周期对方程进行积分，能够达到循环稳定状态，即周期开始和周期结束时的各自数值相等。

  进一步扩展二阶公式，以考虑非理想的影响，包括非理想的再生、非理想的热交换器、再生器壁的漏热和泵送损失。

  前两种损失机制可以在图中的温度曲线中得到说明。在图中，下标wh和wk指的是分别是加热器壁和冷却器壁。非理想的热交换将导致冷却器和加热器气体的平均温度与交换器不同。从连接性传热的基本方程，我们大家可以得到（4）其中Q是传热速度，h是连接传热系数，Awg是指换热器表面的壁面或湿润面积，Tw是壁面温在理想的绝热配方中，气体温度和壁温之间没有差异，现在考虑到了非理想的热交换。从（4）中能够准确的看出，由于h有一个有限的值，热交换器中的气体温度和热交换器壁的温度现在会有所不同。

  再生器的有效性从理想再生器的1到无再生作用的0不等。对于非理想的再生系统，气体在一次吹气过程中从冷却器流向加热器，气体在离开再生器时的温度会比加热器的温度低一些。这将导致加热器在循环过程中从外部提供更多的热量，使气体的温度上升到加热器的温度，可以定量地写为（5）其中，Qh和Qhi，分别指在非理想情况和理想绝热情况下转移到加热器中工作气体的净热量，Qri指在理想绝热情况下，在一次吹气中转移到再生器的热量。因此，当工作气体从加热器流向冷却器时，单次吹气时转移到再生器的热量。另外，它也可以指当工作气体从冷却器流向加热器时，单次吹扫时从再生器转移的热量。因此，再生器的热损失可以从公式（5）中确定为(6)

  再生器的有效性ε可以被确定为从传输单位数（NTU）中提取，这是一个众所周知的衡量热交换器有效性的标准，由NTU值能够最终靠以下方式获得(7)斯坦顿数是由一个周期内确定的平均雷诺数反过来得到的。再生器壁的漏热，由于从加热器通过再生器壁流向冷却器的热流，是由以下因素决定的(8)其中，Qrwl,Cqwr,Twh,Twk和f分别表示由于墙体漏热、再生器外壳热传导、加热器墙体温度、冷却器墙体温度和工作频率造成的每周期热损失。

  虽然假设压力在整个发动机中是恒定的，但与流经热交换器和再生器有关的流体摩擦事实上将导致可变体积之间的压力下降。这降低了发动机的功率输出，被称为泵的工作损失。压降的评估方法是(9)其中u、u、V、dh和A分别表示工作气体动态粘度、流体平均体积速度、空隙体积、水力直径和内部自由流动面积。

  雷诺摩擦系数来自特定流体条件下特定热交换器和对整个循环中的每个热交换器和再生器的压降做评估。三个体积的压降在整个循环的每个点上都被加起来，并与压缩空间压力相加，得到一个新的膨胀空间压力。然后通过整合压力降和可变膨胀空间体积的导数来计算每个周期的泵送损失，如下所示：（10）其中，△pi表示加热器、再生器和冷却器的总压降，dVe表示再生器拓扑结构的雷诺数。

  这里讨论的二阶数值配方是用开源脚本语言Python实现的。图中显示了仿真流程的方框图。在图中，下标gh和gk分别表示加热器和冷却器的气体温度。因此，两个变量Tgh和Tgk等同于Th和Tk，用于迭代计算新的气体温度。在初始化过程中，加热器和冷却器的壁面温度Twh和Twk分别被设定为输入加热器和冷却器的温度Th和Tk。然后，正如前面所解释的那样，模拟会反复确定加热器和冷却器中的气体温度，分别为Th和Tk。

  这是通过首先进行理想绝热模拟，然后根据从理想绝热模拟得到的信息计算新的气体温度来完成的。一旦获得收敛，即当新确定的气体温度和在前一次迭代中确定的气体温度在一些范围内时，就能确定再生的焓和热泄漏损失以及泵的功损失。

  目前有两种不同的方法来计算。这两种方法在图中所示的热/工作流图的帮助下进行解释。在图中，qin-total表示发动机的总输入热量，qrenthalfp和qr-wall，分别表示再生器的焓和壁面漏热损失，qheat和qcool分别表示输入气体循环的热量和排出气体循环的热量，qout-total表示在冷却器处的总热量。

  图a所示的第一个图代表了用来计算发动机的性能和效率的方法。图b所示的第二种方法代表了性能和效率的另一种计算方式，将被称为替代方法。这两种方法的区别主要在于如何计算再生器和泵的损失。这些损失被添加到循环的模拟热输入中，以获得一个新的输入发动机的总热量。

  另一种方法试图通过以下方式来避免这种情况从模拟中减去再生器的损失。循环模拟的结果是，将这些损失与从气体中排除的热量相加，得到一个新的从冷却器中排除的热量总量。采用这种方法的原因是，在循环模拟后计算出的再生器损失在实践中会降低发动机的输出功率，并增加冷却器的废热。因此，更现实的模拟的气体循环变量将不可避免地与循环模拟期间获得的变量不同，例如，最大和最小压力值将分别减少和增加。

  至于抽水损失，大家意识到，由于气体摩擦产生的热量也必须在冷却器中排除。然而，并不是每个循环中由于气体摩擦产生的所有热量都会被排除。只有再生器中产生的热量和冷却器中由于气体摩擦产生的热量的一半被认为是损失的。在再生器中产生的剩余热量和在加热器中产生的热量仍然是热力学循环的有用部分。

  GPU-3斯特林发动机最初由通用汽车研究实验室制造。1965年，作为3千瓦的发动机-发电机组的一部分，被命名为地面动力装置3，这是一个单缸、排量的发动机。在平均压力为6.9兆帕、转速为3600转/分的情况下，氢气作为工作流体，其功率输出可达约9千瓦，采用菱形驱动。因此，膨胀空间和压缩空间中活塞的间隙距离被增加，以考虑到与膨胀空间和压缩空间相邻的未接触到热量或冷却剂的热交换器体积。再生器的计算空隙体积也增加了，以考虑到与再生器相邻的两个热交换器的不活动空隙体积。在大多数情况下，当提供斯特林发动机的性能数据时，会提供特定工作条件下的平均压力。

  这意味着要有一定的工作流体质量。然而，这里提出的二阶模拟，使用工作液体的质量来计算压力，而不是反过来。为客服这样的一个问题，在平均压力给定而气体总质量未知的情况下，气体的质量被猜测开始，然后在每次迭代中不断重新计算以达到给定的平均压力。所有其他取决于气体质量的数据都被相应地放大。这里提出的二阶公式没有具体规定热交换器中的这种非活性空隙体积。由于这些体积不能被忽视，我们决定通过将热交换器中的空隙体积与相邻体积的空隙体积相加来接近CPU-3的实现。该正是依据这一些记录的实验结果，对二阶公式的模拟精度进行了比较。

  二阶公式可以相当准确地预测膨胀空间和压缩空间的平均温度。但应该格外的重视的是，很难准确测量可变空间中的气体温度。由于气体循环中不同损失机制的相互关联性，很难将这种不准确的原因归结为单一的原因。然而，由于这里描述的二阶公式没有将各种损失纳入在循环模拟过程中，考虑到将不可避免地降低发动机的性能，应该预计压力-体积功以及由此产生的压力波动被高估了。

  为了作比较，模拟的输出功率与测量的输出功率进行了比较，既没考虑机械损失（指示功率），也没考虑机械损失（制动功率）。考虑到输入的热量和冷却器排出的热量分别被高估和低估了近15%和54%，导致对输出功率的高估。此外，即使如果考虑到所有的损失，模拟的输出功率仍然会超过实际值。这一问题在替代方法中得到了部分解决，产生了更好的结果。

  膨胀空间和压缩空间平均温度的不准确度也是令人满意的。与表中所列的低功率基线测量相比，模拟的膨胀空间和压缩空间压力波动的准确性稍差。对发动机输入的热量和冷却器排出的热量进行了估计，其误差与表中所列的误差相似。

  图中显示了以氦气为工作流体，平均压力接近4.2MPa，加热管气体温度接近650℃的情况下，对发动机转速的几个变量。这些图表是为了比较数字公式准确预测不同变量与发动机转速的函数关系的能力。

  图中显示了及模拟的输出功率和效率与发动机转速的关系。因此，预测的模拟输出功率和效率都明显高于真实的情况。此外，虽然测量的输出功率随着发动机转速的增加而开始下降，但两种方法的模拟输出功率仍然以下降的速度增加。然而，模拟的效率显示出与测量的情况大致相同的趋势。使用三阶公式模拟得到的压力曲线表明，简化的动量方程可用于模拟，直至峰值功率。即使在发动机速度远低于峰值功率时，也应使用包括动量通量和加速项的完整动量方程。对于氦气来说，峰值功率是在2500到3000rpm的区域内达到的。

  从这一点开始，膨胀空间压力的不规则性出现了。我们还发现，在用空气作为工作流体的模拟中出现了一个窒息型的局部压力峰值。这个压力峰值对输出功率产生了负面影响。这些现象只能用比这里介绍的二阶模拟复杂得多的公式来模拟，因此，模拟的输出功率无法跟随测量的输出功率的下降趋势。

  图中显示了发动机的实测热量输入和模拟的气体热量输入与发动机速度的关系。输入气体的热量将是发动机输入热量的较大部分，但不会超过总输入热量。因此，使用替代方法模拟的气体输入热量更准确。由替代方法确定的热量输出相同，也是更准确的。

  在本文中，报告了开发的用于斯特林发动机仿真的二阶方程的实施情况，并对其进行了改进，还根据GPU-3斯特林发动机的已知性能验证了其仿真精度。这项调查的目的是建立一个仿真工具，以进行普通发动机的预设计和优化。除输出功率和效率外，模拟的总体准确性很高。事实上是令人满意的。与一般常用的方法相比，替代方法产生了更准确的结果，用于估计其他各种操作变量。在一些操作变量出现较大误差的情况下，模拟的趋势总体上与测量结果一致。这里提出的二阶公式的局限性，例如无法说明损失机制的相互关联性，得到了强调。

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